8.int-ml

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本文参考自李航的《统计学习方法》、周志华的《机器学习》、Hulu的《百面机器学习》等。

概述

统计学习三要素

模型

监督学习中，模型是要学习的条件概率分布或决策函数。

模型的假设空间

假设空间是所有可能的条件概率分布或决策函数

定义1

可以定义为决策函数的集合：

$$\mathcal{F}=\{f|Y=f(X)\}$$

• $X$和$Y$是定义在$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$上的变量

• $\mathcal{F}$是一个参数向量决定的函数族：

$$\mathcal{F}=\{f|Y=f_\theta(X),\theta \in R^n\}$$

参数向量$\theta$取值于n维欧式空间$R^n$，称为参数空间

定义2

也可以定义为条件概率的集合：

$$\mathcal{F}=\{P|P(Y|X)\}$$

• $X$和$Y$是定义在$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$上的随机变量

• $\mathcal{F}$是一个参数向量决定的条件概率分布族：

$$\mathcal{F}=\{P|P_\theta(Y|X),\theta \in R^n\}$$

策略

损失函数与风险函数

损失函数（loss function）或代价函数（cost function）： 度量预测值$f(X)$与真实值$Y$的误差程度，记为$L(Y,f(X))$，是个非负实值函数。损失函数越小，模型越好。

• 0-1损失函数：

$$L(Y,f(X))=\left\{\begin{matrix} 0 & Y\neq f(X) \\ 1 & Y = f(X) \end{matrix}\right.$$

• 平方损失函数：

$$L(Y,f(X))=(Y-f(X))^2$$

• 绝对损失函数：

$$L(Y,f(x))=|Y-f(X)|$$

• 对数损失函数(logarithmic loss function)/对数似然损失函数(log-likelihood loss function)：

$$L(Y,P(Y|X))=-logP(Y|X)$$

风险函数(risk function)或期望损失(expected loss)：$X$和$Y$服从联合分布$P(X,Y)$，理论上模型$f(X)$关于联合分布$P(X,Y)$的平均意义下的损失：

$$R_{exp}(f)=E_P[L(Y,f(X))]=\int _{\mathcal{X}\times \mathcal{Y}}L(y,f(x))P(x,y)dxdy$$

学习的目标：选择期望风险最小的模型。但联合分布$P(X,Y)$是未知的，所以无法直接计算$R_{exp}(f)$。所以监督学习是病态问题（ill-formed problem）：一方面需要联合分布，另一方面联合分布是未知的。

给定训练集：

$$T=\{(x_1,y_1),...(x_N,y_N)\}$$

经验风险(expirical risk)/经验损失(expirical loss)：模型$f(X)$关于训练集的平均损失

$$R_{emp}(f)=\frac{1}{N}\sum ^N_{i=1}{L(y_i,f(x_i))}$$

根据大数定律，当样本容量$N$趋向无穷时，经验风险$R_{emp}$趋于期望风险$R_{exp}(f)$。

经验风险最小化与结构风险最小化

经验风险最小化（empirical risk minimization, ERM）：经验风险最小的模型就是最优模型。所以需要求解的最优化问题是：

$$\min_{f\in \mathcal{F}}R_{erm}=\min_{f\in \mathcal{F}}\frac{1}{N}L(y_i,f(x_i))$$

当满足以下两个条件时，经验风险最小化就等价于极大似然估计（maximum likelihood estimation）：

• 模型是条件概率分布

• 损失函数是对数损失函数

当样本量足够大时，ERM能有很好的效果，但样本量不够多时，为了防止过拟合，需要用下面的方法。

结构风险最小化（structual risk minimization, SRM）：结构风险=经验风险+表示模型复杂度的正则化项(regularizer)或罚项(penalty term)。结构风险定义如下：

$$R_{srm}(f)=\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$$

其中，$J(f)$是模型的复杂度，模型越复杂，$J(f)$越大。$\lambda\ge 0$是用于权衡经验风险和模型复杂度的系数。

当满足以下3个条件时，结构化风险最小化等价于）贝叶斯估计中的最大后验概率估计(maximum posterior probability estimation, MAP)：

• 模型是条件概率分布

• 损失函数是对数损失函数，对应后验估计中的似然函数

• 模型复杂度由模型的先验概率表示

似然函数和先验概率的乘积即对应贝叶斯最大后验估计的形式

参考https://www.zhihu.com/question/23536142

所以结构风险最小化就是求解优化问题：

$$\min_{f\in\mathcal{F}}\frac{1}{N}\sum ^N_{i=1}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$$

算法

算法指的是学习模型的具体方法，即使用什么计算方法求解最优模型。

因为统计学习问题归结为最优化问题，所以统计学习的算法就是求解最优化问题的算法。

• 如果有显式的解析解，此最优化问题就比较简单

• 如果没有，需要用数值计算方法求解，需要考虑如何保证找到全局最优解，并使求解过程高效

模型评估与模型选择

训练误差与测试误差

假设学习到的模型是$Y=\hat{f}(X)$，训练误差是模型$Y=\hat{f}(X)$关于训练数据集的平均损失（$N$是样本容量）：

$$R_{emp}(\hat{f})=\frac{1}{N}\sum ^N_{i=1}L(y_i,\hat{f}(x_i))$$

测试误差是模型$Y=\hat{f}(X)$关于测试数据集的平均损失（$N'$是测试样本容量）：

$$e_{test}(\hat{f})=\frac{1}{N'}\sum ^{N'}_{i=1}L(y_i,\hat{f}(x_i))$$

• 训练误差的大小，对判断给定的问题是不是一个容易学习的问题是有意义的

• 测试误差反映了学习方法对未知数据的预测能力，即泛化能力（generalization ability）

过拟合与模型选择

当模型复杂度增加时，训练误差会逐渐减小并趋向于0；测试误差会先减小，达到最小值后又会增大。

当模型复杂度过大时，就会出现过拟合。所以需要在学习时防止过拟合，选择复杂度适当的模型。

正则化与交叉验证

正则化

模型选择的典型方法是正则化（regularization）。正则化是结构风险最小化策略的实现，即在经验上加一个正则化项（regularizer）或罚项（penalty term）。

正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化值越大。比如，正则化项可以是模型参数向量的范数。

$$\min_{f\in \mathcal{F}}\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$$

其中$\lambda \ge 0$

正则化符合奥卡姆剃刀（Occam's razor）原理：在所有可能选择的模型中，能够很好地解释已知数据并且十分简单才是最好的模型，也就是应该选择的模型。

从贝叶斯估计的角度来看，正则化项对应于模型的先验概率。可以假设复杂的模型有较小的先验概率，简的模型有较大的先验概率。

交叉验证

泛化能力

泛化误差

泛化误差上界

生成模型与判别模型

分类问题

标注问题

回归问题

一个常问的问题：平方损失在做分类问题的损失函数时，有什么缺陷？

一方面，直观上看，平方损失函数对每一个输出结果都十分看重，而交叉熵只看重正确分类的结果。例如三分类问题，如果预测的是$(a,b,c)$，而实际结果是$(1,0,0)$，那么：

$$mse=(a-1)^2+b^2+c^2$$

$$crossentropy=-1\times \log a-0\times \log b -0\times \log c=-\log a$$

所以，交叉熵损失的梯度只和正确分类有关。而平方损失的梯度和错误分类有关，除了让正确分类尽可能变大，还会让错误分类都变得更平均。实际中后面这个调整在分类问题中是不必要的，而回归问题上这就很重要。

另一方面，从理论角度分析。两个损失的源头不同。平方损失函数假设最终结果都服从高斯分布，而高斯分布的随机变量实际是一个连续变量，而非离散变量。如果假设结果 变量服从均值$t$，方差$\sigma$的高斯分布，那么利用最大似然法可以优化其负对数似然，最终公式变为：

$$\max\sum^N_i[-\frac{1}{2}\log(2\pi \sigma^2)-\frac{(t_i-y)^2}{2\sigma ^2}]$$

除去与$y$无关的项，剩下的就是平方损失函数。

感知机

k近邻法

朴素贝叶斯法

参考https://www.cnblogs.com/jiangxinyang/p/9378535.html

贝叶斯公式

$$p(\theta|X)=\frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)}$$

又可以写为：

$$posterior=\frac{likelihood * prior}{evidence}$$

其中：

• $posterior$：通过样本$X$得到参数$\theta$的概率，即后验概率

• $likelihood$：通过参数$\theta$得到样本$X$的概率，即似然函数。

• $prior$：参数$\theta$的先验概率

• $evidence$：$p(X)=\int p(X|\theta)p(\theta)d\theta$。样本$X$发生的概率，是各种$\theta$条件下发生的概率的积分。

极大似然估计（MLE）

极大似然估计的核心思想是：认为当前发生的事件是概率最大的事件。因此就可以给定的数据集，使得该数据集发生的概率最大来求得模型中的参数。

似然函数如下：

$$p(X|\theta)=\prod ^n_{i=1}p(x_i|\theta)$$

为便于计算，对似然函数两边取对数，得到对数似然函数：

$$\begin{aligned} LL(\theta)&=\log p(X|\theta) \\ &= \log \prod ^n_{i=1}p(x_i|\theta) \\ &= \sum ^n_{i=1}\log p(x_i|\theta) \\ \end{aligned}$$

极大似然估计只关注当前的样本，也就是只关注当前发生的事情，不考虑事情的先验情况。由于计算简单，而且不需要关注先验知识，因此在机器学习中的应用非常广，最常见的就是逻辑回归。

最大后验估计（MAP）

最大后验估计中引入了先验概率（先验分布属于贝叶斯学派引入的，像L1，L2正则化就是对参数引入了拉普拉斯先验分布和高斯先验分布），而且最大后验估计要求的是$p(\theta|X)$

$$\begin{aligned} f(x)&= \arg\max _{\theta}p(\theta|X) \\ &= \arg\max _{\theta}\frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)} \\ &= \arg\max _{\theta} p(X|\theta)p(\theta) \\ \end{aligned}$$

其中因为分母$p(X)$与$\theta$无关，所以可以去掉，同样地，取log：

$$\begin{aligned} f(x)&= \arg\max _{\theta} \log p(X|\theta)p(\theta) \\ &= \arg\max _{\theta} \{\sum ^n_{i=1}\log p(x_i|\theta)+\log p(\theta)\}\\ \end{aligned}$$

最大后验估计不只是关注当前的样本的情况，还关注已经发生过的先验知识。

最大后验估计和最大似然估计的区别：

最大后验估计允许我们把先验知识加入到估计模型中，这在样本很少的时候是很有用的（因此朴素贝叶斯在较少的样本下就能有很好的表现），因为样本很少的时候我们的观测结果很可能出现偏差，此时先验知识会把估计的结果“拉”向先验，实际的预估结果将会在先验结果的两侧形成一个顶峰。通过调节先验分布的参数，比如beta分布的$\alpha$，$\beta$，我们还可以调节把估计的结果“拉”向先验的幅度，$\alpha$，$\beta$越大，这个顶峰越尖锐。这样的参数，我们叫做预估模型的“超参数”。

贝叶斯估计

贝叶斯估计和极大后验估计有点相似，都是以最大化后验概率为目的。区别在于：

• 极大似然估计和极大后验估计都是只返回了的预估值。

• 极大后验估计在计算后验概率的时候，把分母$p(X)$忽略了，在进行贝叶斯估计的时候则不能忽略

• 贝叶斯估计要计算整个后验概率的概率分布

决策树

logistic回归与最大熵模型

支持向量机

提升方法

gbdt

参考https://www.cnblogs.com/pinard/p/6140514.html

梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)有很多简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)等等。

gbdt概述

在Adaboost中，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。

GBDT也是迭代，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

假设我们前一轮迭代得到的强学习器是$f_{t-1}(x)$，损失函数是$L(y, f_{t-1}(x))$，本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器$h_t(x)$，使得本轮的损失函数$L(y, f_{t}(x)) =L(y, f_{t-1}(x)+ h_t(x))$最小。也就是说，要找到一个决策树，使得样本的损失$L(y-f_{t-1}(x), h_t(x))$最小。

gbdt的负梯度拟合

第$t$轮的第$i$个样本的损失函数的负梯度：

$$r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}(x)}$$

利用

EM算法及其推广

隐马尔可夫模型

条件随机场

附录

矩阵

优化

拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法(Lagrange multipliers)是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法。通过引入拉格朗日乘子，将$d$个变量和$k$个约束条件的最优化问题转化为具有$d+k$个变量的无约束优化问题求解。

等式约束

假设$x$是$d$维向量，要寻找$x$的某个取值$x^*$，使目标函数$f(x)$最小且同时满足$g(x)=0$的约束。

从几何角度看，目标是在由方程$g(x)=0$确定的$d-1$维曲面上，寻找能使目标函数$f(x)$最小化的点。

1. 对于约束曲面$g(x)=0$上的任意点$x$，该点的梯度$\nabla g(x)$正交于约束曲面

2. 在最优点$x^*$，目标函数$f(x)$在该点的梯度$\nabla f(x^*)$正交于约束曲面

对于第1条，梯度本身就与曲面的切向量垂直，是曲面的法向量，并且指向数值更高的等值线。

证明：

参考http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/251319162010328103227654/

假设$z=f(x,y)$的等值线：$\Gamma :f(x,y)=c$，两边求微分：

$$\begin{matrix} df(x,y)=dc & \\ \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy =0 & \\ & \end{matrix}$$

看成两个向量的内积：

$$\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = \{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\}\cdot \{dx,dy\}=0$$

而内积$a\cdot b=|a||b|cos\theta$为0说明夹角是90度，而$\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\}$是梯度向量，$\{dx,dy\}$是等值线的切向量，所以梯度向量和切向量是垂直的。

对于第2条，可以用反证法，如下图，蓝色是$g(x)=0$，橙色是$f(x)$的等值线(图里假设$f(x)=x^2+y^2$)，交点的$\nabla f(x^*)$的梯度和$g(x)$的切面不垂直，那么，可以找到更小的等值线，使夹角更接近90度，也就是说，这个点不是真正的最优点$x^*$。

等式约束-非相切

所以，在最优点$x^*$处，梯度$\nabla g(x)$和$\nabla f(x)$的方向必然相同或相反，也就是存在$\lambda \neq 0$，使得：

$$\nabla f(x^*)+\lambda \nabla g(x^*)=0$$

其中$\lambda$是拉格朗日乘子，定义拉格朗日函数

$$L(x,\lambda)=f(x)+\lambda g(x)$$

其中$L(x,\lambda)$对x的偏导$\nabla _xL(x,\lambda)$置0，就得到：

$$\nabla f(x)+\lambda \nabla g(x)=0$$

而$L(x,\lambda)$对$\lambda$的偏导$\nabla _{\lambda}L(x,\lambda)$置0，就得到

$$g(x)=0$$

所以，原约束问题可以转化为对$L(x,\lambda)$的无约束优化问题。

不等式约束

考虑不等式约束$g(x)\le 0$，最优点或者在边界$g(x)=0$上，或者在区域$g(x)<0$中。

(a)是等式约束，(b)是不等式约束

• 对于$g(x)<0$

相当于使$f(x)$取得最小值的点落在可行域内，所以约束条件相当于没有用，所以，直接对$f(x)$求极小值即可。因为$L(x,\lambda)=f(x)+\lambda g(x)$，所以

$$\nabla _xL(x,\lambda)=\nabla f(x)+\lambda \nabla g(x)$$

因为$g(x)<0$，想要只让$\nabla f(x)=0$，那么令 $\lambda = 0$ 即可。

• 对于$g(x)=0$

这就变成了等式约束，且此时$\nabla f(x^*)$和$\nabla g(x^*)$反向相反。因为在$g(x)=0$越往里值是越小的，而梯度是指向等值线高的方向，所以梯度是指向外的。而$f(x)$的可行域又在$g(x)$的里面和边界上，我们要找的是$f(x)$的最小值，所以$f(x)$的梯度是指向内部的。

而$\nabla f(x)+\lambda \nabla g(x)=0$，两个又是反向的，所以$\lambda>0$。

结合$g(x)\le 0$和$g(x)=0$两种情况的结论，就得到了KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件

$$\left.\begin{matrix} g(x)=0, \lambda >0 \\ g(x)<0, \lambda = 0 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} g(x)\le 0 \\ \lambda \ge 0\\ \lambda g(x)=0 \end{matrix}\right.$$

其中$\lambda g(x)=0$是因为$\lambda$和$g(x)$至少一个是0，而且不能都不是0。

以上三个条件有各自的名字：

• Primal feasibility(原始可行性)：$g(x)\le 0$

• Dual feasibility(对偶可行性)：$\lambda \ge 0$

• Complementary slackness：$\lambda g(x)=0$

带等式和不等式约束的拉格朗日乘子法

对于多个约束的情形，$m$个等式约束和$n$个不等式约束，可行域$\mathbb{D}\subset \mathbb{R}^d$非空的优化问题：

$$\min_{x}f(x)$$

$$\begin{matrix} s.t & h_i(x)=0,i=1,...,m \\ & g_j(x)\le 0,j=1,...,n \end{matrix}$$

引入拉格朗日乘子$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m)^T$和$\mu=(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)^T$，相应的拉格朗日函数为：

$$L(x,\lambda, \mu)=f(x)+\sum^m_{i=1}\lambda_ih_i(x)+\sum^n_{j=1}\mu_jg_j(x)$$

由不等式约束引入的KKT条件$(j=1,2,...n)$为

$$\left\{\begin{matrix} g_j(x)\le 0\\ \mu_j\ge 0\\ \mu_jg_j(x)=0 \end{matrix}\right.$$

梯度下降

《统计学习方法》的视角

假设$f(x)$有一阶连续偏导，对于无约束的最优化问题而言：$\min _{x\in R^n}f(x)$

而$f(x)$在$x^{(k)}$附近的一阶泰勒展开如下，其中$g_k=g(x^{(k)})=\nabla f(x^{(k)})$是$f(x)$在$x^{(k)}$的梯度：

$$f(x)=f(x^{(k)})+g^T_k(x-x^{(k)})$$

所以对于$x=x^{(k+1)}$：

$$f(x^{(k+1)})=f(x^{(k)})+g^T_k(x^{(k+1)}-x^{(k)})$$

令$x^{(k+1)}=x^{(k)}+\lambda _kp_k$，$p_k$是搜索方向，$\lambda _k$是步长，代入上式，有

$$\begin{aligned} f(x^{(k+1)})&=f(x^{(k)})+g^T_k(x^{(k)}+\lambda _kp_k-x^{(k)}) \\ &=f(x^{(k)})+g^T_k\lambda _kp_k \\ \end{aligned}$$

为了让每次迭代的函数值变小，可以取$p_k=-\nabla f(x^{(k)})$

把$\lambda_k$看成是可变化的，所以需要搜索$\lambda _k$使得

$$f(x^{(k)}+\lambda_kp_k)=\min_{\lambda \ge0}f(x^{(k)}+\lambda p_k)$$

梯度下降法：

输入：目标函数$f(x)$，梯度$g(x)=\nabla f(x)$，精度要求$\varepsilon$。

输出：$f(x)$的极小点$x^*$。

1. 取初始值$x^{(0)}\in R^n$，置$k=0$

2. 计算$f(x^{(k)})$

3. 计算梯度$g_k=g(x^{(k)})$，当$\left \| g_k \right \|<\varepsilon$，则停止计算，得到近似解$x^*=x^{(k)}$；否则，令$p_k=-g(x^{(k)})$，求$\lambda_k$使得 $f(x^{(k)}+\lambda_kp_k)=\min_{\lambda \ge0}f(x^{(k)}+\lambda p_k)$

4. 置$x^{(k+1)}=x^{(k)}+\lambda_kp_k$，计算$f(x^{(k+1)})$ 当$\left \| f(x^{(k+1)}) -f(x^{(k)}) \right \|<\varepsilon$或$\left \| x^{(k+1)}-x^{(k)} \right \|<\varepsilon$时，停止迭代，令$x^*=x^{(k+1)}$

5. 否则，置$k=k+1$，转第3步

只有当目标函数是凸函数时，梯度下降得到的才是全局最优解。

《机器学习》的视角

梯度下降是一阶(first order)（只用一阶导，不用高阶导数）优化方法，是求解无约束优化问题最简单、最经典的方法之一。

考虑无约束优化问题$\min_xf(x)$，$f(x)$是连续可微函数，如果能构造一个序列$x^0,x^1,x^2,...$满足

$$f(x^{t+1}) < f(x^t),\ t=0,1,2,...$$

那么不断执行这个过程，就可以收敛到局部极小点，根据泰勒展开有：

$$\begin{aligned} f(x)&=f(x^{(k)})+\nabla f(x^{(k)})^T(x-x^{(k)}) \\ f(x+\Delta x) &= f(x^{(k)})+\nabla f(x^{(k)})^T(x+\Delta x-x^{(k)}) \\ & = f(x^{(k)})+\nabla f(x^{(k)})^T(x-x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T\Delta x \\ & = f(x) + \nabla f(x^{(k)})^T\Delta x \end{aligned}$$

而$\nabla f(x^{(k)})^T\Delta x$是一个标量，其转置等于自己，所以

$$f(x+\Delta x)=f(x) + \Delta x^T\nabla f(x^{(k)})$$

想要让$f(x+\Delta x)< f(x)$，只需要令：

$$\Delta x=-\gamma \nabla f(x)$$

其中的步长$\gamma$是一个小常数

如果$f(x)$满足$L$-Lipschitz条件，也就是说对于任意的$x$，存在常数$L$，使得$\left \| \nabla f(x) \right \|\le L$成立，那么设置步长为$\frac{1}{2L}$就可以确保收敛到局部极小点。

同样地，当目标函数是凸函数时，局部极小点就对应全局最小点，此时梯度下降可以确保收敛到全局最优解。

牛顿法

二阶导基本性质

对于点$x=x_0$，

• 一阶导$f'(x_0)=0$时，如果二阶导$f''(x_0)>0$，那么$f(x_0)$是极小值，$x_0$是极小点

• 一阶导$f'(x_0)=0$，如果二阶导$f''(x_0)<0$，那么$f(x_0)$是极大值，$x_0$是极大点

• 一阶导$f'(x_0)=0$，如果二阶导$f''(x_0)=0$，那么$x_0$是鞍点

证明：

对于任意$x_1$，根据二阶泰勒展开，有

$$f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x_1-x_0)^2+...+R_n(x_1)$$

因为$f''(x_0)>0$且$f'(x_0)=0$，所以，不论$x_1> x_0$还是$x_1< x_0$，总有$f(x_1)>f(x_0)$，也就是周围的函数值都比$f(x_0)$大，而$x_0$又是极值点，所以是极小点。

牛顿法

对于矩阵形式，$x$是一个nx1的列向量，$H(x)$是$f(x)$的海赛矩阵，即二阶导，shape是$n\times n$：

$$f(x)=f(x^{(x)})+g^T_k(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})(x-x^{(k)})$$

函数$f(x)$有极值的必要条件是在极值点处一阶导为0，特别地，当$H(x^{(k)})$是正定矩阵时（二阶导大于0），是极小值。

牛顿法利用极小点的必要条件$\nabla f(x)=0$，每次迭代从点$x^{(k)}$开始，求目标函数极小点，作为第$k+1$次迭代值$x^{(k+1)}$，具体地，假设$\nabla f(x^{(k+1)})=0$，有

$$\begin{aligned} f(x) &= f(x^{(x)})+g^T_k(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})(x-x^{(k)}) \\ &=f(x^{(x)})+[g^T_k+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})](x-x^{(k)}) \\ &=f(x^{(x)})+[g_k+\frac{1}{2}H(x^{(k)})(x-x^{(k)})]^T(x-x^{(k)}) \\ \end{aligned}$$

把其中的$g_k+\frac{1}{2}H(x^{(k)})(x-x^{(k)})$看成一阶导，则上式就是一阶泰勒展开。记$H^k=H(x^{(k)})$，令$x=x^{(k+1)}$，令一阶导为0：

$$\begin{matrix} g_k+\frac{1}{2}H^k(x^{(k+1)}-x^{(k)})=0 \\ g_k=-\frac{1}{2}H^k(x^{(k+1)}-x^{(k)}) \\ -2H^{-1}_kg_k=x^{(k+1)}-x^{(k)} \\ x^{(k+1)} = -2H^{-1}_kg_k+x^{(k)} \end{matrix}$$

可以无视这个2，变成：

$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-H^{-1}_kg_k$$

或者

$$x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k$$

其中，

$$H_kp_k=-g_k$$

牛顿法：

输入：目标函数$f(x)$，梯度$g(x)=\nabla f(x)$，海赛矩阵$H(x)$，精度要求$\varepsilon$。

输出：$f(x)$的极小点$x^*$。

1. 取初始点$x^{(0)}$，置$k=0$

2. 计算$g_k=g(x^{(k)})$

3. 若$\left \| g_k \right \|<\varepsilon$，则停止计算，得到近似解$x^*=x^{(k)}$

4. 计算$H_k=H(x^{(k)})$，并求$p_k$，满足 $H_kp_k=-g_k$

5. 置$x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k$

6. 置$k=k+1$，转到第2步

其中的步骤4，求$p_k$时，$p_k=-H^{-1}_kg_k$需要求解$H^{-1}_k$很复杂。

拟牛顿法的思路

基本想法就是通过一个$n$阶矩阵$G_k=G(x^{(k)})$来近似代替$H^{-1}(x^{(k)})$。

DFP(Davidon-Fletcher-Powell)

BFGS(Broydon-Fletcher-Goldfarb-Shanno)

拉格朗日对偶性

信息论相关

凸集

假设$S$为在实或复向量空间的集。若对于所有$x,y\in S$和所有的$t\in [0,1]$都有$tx+(1-t)y\in S$，则$S$称为凸集。

也就是说，$S$中任意两点间的线段都属于$S$

性质：

如果$S$是凸集，对于任意的$u_1,u_2,...,u_r\in S$，以及所有的非负$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r$满足$\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_r=1$，都有$\sum_{k=1}^{r}\lambda_ku_k\in S$。这个组合称为$u_1,u_2,...,u_r$的凸组合。

凸函数

函数是凸函数：曲线上任意两点x和y所作割线（与函数图像有两个不同交点的直线，如果只有一个交点，那就是切线）一定在这两点间的函数图象的上方：

$$tf(x)+(1-t)f(y)\ge f(tx+(1-t)y),0\le t \le 1$$

有如下几个常用性质：

• 一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

• 一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有$x$和$y$，都有 $f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x)$(右边就是一阶泰勒展开)。特别地，如果$f '(c) = 0$，那么$f(c)$是$f(x)$的最小值。

• 一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。

• 多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的

KL散度

熵的小结：https://blog.csdn.net/haolexiao/article/details/70142571

相对熵（relative entropy）又称为KL散度（Kullback–Leibler divergence，简称KLD），信息散度（information divergence），信息增益（information gain）。

KL散度是两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本 平均所需的额外的位元数。 典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

注意：$D_{KL}(P||Q)$是指的用分布Q来近似数据的真实分布P，先写P再写Q，公式里没有-ln的时候，就是p/q

对于离散随机变量：

$$D_{KL}(P||Q)=\sum_{i}P(i)ln\frac{P(i)}{Q(i)}=-\sum _{i}P(i)ln\frac{Q(i)}{P(i)}$$

KL散度仅当概率P和Q各自总和均为1，且对于任何i皆满足$Q(i)>0$及$P(i)>0$时，才有定义。如果出现$0ln0$，当做0

对于连续随机变量：

$$D_{KL}(P||Q)=\int ^{\infty }_{-\infty}p(x)ln\frac{p(x)}{q(x)}dx$$

性质：

KL散度大于等于0

证明：

先了解一下Jensen不等式：

如果$\varphi$是一个凸函数，那么有：

$$\varphi(E(x))\le E(\varphi(x))$$

对于离散随机变量，$\sum_{i=1}^n \lambda_i=1$：

$$\varphi(\sum _{i=1}^n g(x_i)\lambda_i)\le \sum^{n}_{i=1}\varphi(g(x_i))\lambda_i$$

当我们取$g(x)=x$，$\lambda_i=1/n$，$\varphi(x)=log(x)$时，就有

$$log(\sum^{n}_{i=1}\frac{x_i}{n})\ge \sum^{n}_{i=1}\frac{log(x_i)}{n}$$

对于连续随机变量，如果f(x)是非负函数，且满足（f(x)是概率密度函数）：

$$\int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx=1$$

如果$\varphi$在g(x)的值域中是凸函数，那么

$$\varphi(\int^{\infty}_{-\infty}g(x)f(x)dx)\le \int ^{\infty}_{-\infty}\varphi(g(x))f(x)dx$$

特别地，当$g(x)=x$时，有

$$\varphi(\int^{\infty}_{-\infty}xf(x)dx)\le \int ^{\infty}_{-\infty}\varphi(x)f(x)dx$$

回到这个问题中，$g(x)=\frac{q(x)}{p(x)}$，$\varphi(x)=-logx$是一个严格凸函数，那么$\varphi(g(x))=-log\frac{q(x)}{p(x)}$，所以

$$\begin{aligned} D_{KL}(P||Q)&=\int ^{\infty }_{-\infty}p(x)ln\frac{p(x)}{q(x)}dx \\ &=\int ^{\infty }_{-\infty}p(x)(-ln\frac{q(x)}{p(x)})dx \\ &=\int ^{\infty }_{-\infty}(-ln\frac{q(x)}{p(x)})p(x)dx \\ &\ge -ln(\int^{\infty }_{-\infty}\frac{q(x)}{p(x)}p(x)dx) \\ &\ge -ln(\int^{\infty }_{-\infty}q(x)dx) \\ &=-ln1=0 \end{aligned}$$

采样

假设有一个很复杂的概率密度函数$p(x)$，求解随机变量基于此概率下的某个函数期望，即：

$$E_{x\sim p(x)}[f(x)]$$

求解有两种方法：

解析法：

将上式展开成积分，并通过积分求解：

$$\int _x p(x)f(x)dx$$

对于简单的分布，可以直接这么做。但dnn就不可行了。

蒙特卡洛法：

根据大数定理，当采样数量足够大时，采样的样本就可以无限近似地表示原分布：

$$\frac{1}{N}\sum ^N_{x_i\sim p(x),i=1}f(x_i)$$

拒绝采样

拒绝采样又叫接受/拒绝采样(Accept-Reject Sampling)，对于目标分布$p(x)$，选取一个容易采样的参考分布$q(x)$，使得对于任意$x$都有$p(x)\le M\cdot q(x)$，则可以按如下过程采样：

• 从参考分布$q(x)$中随机抽取一个样本$x_i$

• 从均匀分布$U(0,1)$产生一个随机数$u_i$

• 如果$u_i\le \frac{p(x_i)}{Mq(x_i)}$，则接受样本$x_i$，否则拒绝。

重新进行如上3个步骤，直到新产生的样本$x_i$被接受

其中的第三步是因为$p(x)\le M\cdot q(x)$，所以$\frac{p(x_i)}{Mq(x_i)}\le 1$，说明只有函数值在$p(x_i)$下方的$x_i$才接受，所以$x_i\sim p(x)$。相当于为目标分布$p(x)$选一个包络函数$M\cdot q(x)$，包络函数紧，每次采样时样本被接受的概率越大，采样效率越高。实际应用中还有自适应拒绝采样等。

重要性采样

强化学习经常使用重要性采样。重要性采样主要应用在一些难以直接采样的数据分布上。

我们令待采样分布为$p(x)$，有另一个简单可采样且定义域和$p(x)$相同的概率密度函数为$\tilde {p}(x)$，可以得到：

$$\begin{aligned} E_{x\sim p(x)}[f(x)]&=\int _x p(x)f(x)dx \\ &=\int _x \tilde{p}(x) \frac{p(x)}{\tilde {p}(x)}f(x)dx \\ &=E_{x\sim \tilde{p}(x)} [\frac{p(x)}{\tilde {p}(x)}f(x)] \\ & \simeq \frac{1}{N} \sum ^N_{x_i\sim \tilde{p}(x),i=1}\frac{p(x)}{\tilde{p}(x)}f(x) \end{aligned}$$

因此，只需要从简单分布$\tilde {p}(x)$中采样，然后分别计算$p(x)$、$\tilde {p}(x)$和$f(x)$就可以了。

最好选择一个和原始分布尽量接近的近似分布进行采样。

例如，要对一个均值1，方差1的正态分布进行采样，有两个可选的分布：均值1方差0.5和均值1方差2。

从图像上可以看到方差为0.5的过分集中在均值附近，而且方差为2的与原分布重合度较高，所以应该选方差为2的。

马尔可夫蒙特卡洛采样（MCMC）

如果是高维空间的随机向量，拒绝采样和重要性采样经常难以找到合适的参考分布，采样效率低下（样本的接受概率低或者重要性权重低），此时可以考虑马尔可夫蒙特卡洛采样法。

蒙特卡洛法指基于采样的数值近似求解方法，马尔可夫链用于进行采样。

基本思想是：

• 针对待采样的目标分布，构造一个马尔可夫链，使得该马尔可夫链的平稳分布就是目标分布；

• 然后从任何一个初始状态出发，沿着马尔可夫链进行状态转移，最终得到的状态转移序列会收敛到目标分布

• 由此可以得到目标分布的一系列样本

核心点是如何构造合适的马尔可夫链，即确定马尔可夫链的状态转移概率。

Metropolis-Hastings采样

对于目标分布$p(x)$，首先选择一个容易采样的参考条件分布$q(x^*|x)$，并令

$A(x,x^*)=\min \{1,\frac{p(x^*)q(x|x^*)}{p(x)q(x^*|x)}\}$

然后根据如下过程采样：

• 随机选一个初始样本$x^{(0)}$

• For t = 1, 2, 3, ... :

  • 根据参考条件分布$q(x^*|x^{(t-1)})$抽取一个样本$x^*$；

  • 根据均匀分布$U(0,1)$产生随机数$u$；

  • 若$u < A(x^{(t-1)},x^*)$，则令$x^{(t)}=x^*$【接受新样本】，否则令$x^{(t)}=x^{(t-1)}$【拒绝新样本，维持旧样本】

可以证明，上述过程得到的样本序列$\{...,x^{(t-1)},x^{(t)},...\}$最终会收敛到目标分布$p(x)$

吉布斯采样

吉布斯采样是Metropolis-Hastings算法的一个特例，核心思想是只对样本的一个维度进行采样和更新。对于目标分布$p(x)$，其中$x=(x_1,x_2,...,x_d)$是一个多维向量，按如下过程采样：

• 随机选择初始状态$x^{(0)}=(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,...,x^{(0)}_d)$

• For t = 1, 2, 3, ... :

  • 对于前一步产生的样本$x^{(t-1)}=(x^{(t-1)}_1,x^{(t-1)}_2,...,x^{(t-1)}_d)$，依次采样和更新每个维度的值，即依次抽取分量$x^{(t)}_1\sim p(x_1|x^{(t-1)}_2,x^{(t-1)}_3,...,x^{(t-1)}_d)$, $x^{(t)}_2\sim p(x_1|x^{(t-1)}_1,x^{(t-1)}_3,...,x^{(t-1)}_d)$, ..., $x^{(t)}_d\sim p(x_1|x^{(t-1)}_1,x^{(t-1)}_2,...,x^{(t-1)}_{d-1})$

  • 形成新的样本$x^{(t)}=(x^{(t)}_1,x^{(t)}_2,...,x^{(t)}_d)$

同样可以证明，上述过程得到的样本序列$\{...,x^{(t-1)},x^{(t)},...\}$会收敛到目标分布$p(x)$。另外，步骤2中对样本每个维度的抽样和更新操作，不是必须按下标顺序进行的，可以是随机顺序。

注意点：

• 拒绝采样中，如果某一步中采样被拒绝，则该步不会产生新样本，需要重新采样。但MCMC采样每一步都会产生一个样本，只是有时候这个样本与之前的样本一样而已。

• MCMC采样是在不断迭代过程中逐渐收敛到平稳分布的。实际应用中一般会对得到的样本序列进行"burn-in"处理，即截除掉序列中最开始的一部分样本，只保留后面的样本。

MCMC得到的样本序列中相邻的样本是不独立的，因为后一个样本是由前一个样本根据特定的转移概率得到的。如果仅仅是采样，并不要求样本之间相互独立。

如果确实需要产生独立同分布的样本，可以：

• 同行运行多条马尔可夫链，这样不同链上的样本是独立的

• 或者在同一条马尔可夫链上每隔若干个样本才选取一个，这样选出来的样本也是近似独立的。